题目内容
如图，ABCD是一块矩形铁板AB=48cm，BC=30cm，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱．（Ⅰ）写出水箱的容积V与水箱高度x的函数表达式，并求其定义域；
（Ⅱ）当水箱高度x为何值时，水箱的容积V最大，并求出其最大值．
分析：（1）由图形据体积公式得出体积关于高x的函数，再由题意中的限制条件得出定义域．
（2）先求导，列表，确定函数的单调性，即可求出最值．
（2）先求导，列表，确定函数的单调性，即可求出最值．
解答：解：（Ⅰ）由题意，设高为x，则V=（48-2x）（30-2x）x=4（360x-39x2+x3）（0＜x＜15）．
（Ⅱ）∵V=4（360x-39x2+x3），
∴V′=4（3x2-78x+360），
令V′=0，即3x2-78x+360=0，
解得，x=6或x=20（舍）．
当x变化时，V′，V的变化情况如下表：
由上表可知，当x=6cn时，容积V有最大值，且最大值为3888立方厘米．
（Ⅱ）∵V=4（360x-39x2+x3），
∴V′=4（3x2-78x+360），
令V′=0，即3x2-78x+360=0，
解得，x=6或x=20（舍）．
当x变化时，V′，V的变化情况如下表：
| x | （0，6） | 6 | （6，15） |
| V′ | + | 0 | - |
| V | 最大值 |
点评：本题考查长方体的体积公式以及用导数数求最值的过程，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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