Question

某学校拟建一块周长为400米的操场（如图所示），操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域．
（1）将矩形区域的长（y）表示成宽（x）的函数y=f（x）；
（2）为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形区域的长和宽？

Answer 1

分析：（1）由周长为400米，利用圆的周长公式可得矩形区域的长（y）表示成宽（x）的函数y=f（x）；
（2）S_矩形=xy=-

π

2

x2+200x，利用配方法，即可求得结论．

解答：解：（1）设矩形的长为y，宽为x，则
由周长为400米，利用操场的周长等于圆的周长公式+矩形长的2倍，可得2π×

x

2

+2y=400
化简得：y=-

π

2

x+200，x∈(0，

400

π

)
（2）做操区域的面积S_矩形=xy=-

π

2

x2+200x=-

π

2

(x-

200

π

)2+

20000

π

，
∵x∈(0，

400

π

)
∴当x=

200

π

，y=100时，矩形面积最大．
答：（1）函数y=f（x）为：y=-

π

2

x+200，x∈(0，

400

π

)；（2）当长为100米，宽为

200

π

米时，学生的做操区域最大．

点评：本题考查周长与面积的计算，考查配方法求函数的最值，属于中档题．