题目内容
已知函数fn（x）=（1+x）n-1，（n∈N*，且n＞1）．（1）设函数h（x）=f3（x）-F2（x），x∈[-2，0]，求h（x）的最大值和最小值．
（2）若x＞-2求证：fn（x）≥nx．
分析：（1）根据题意求出h（x）的导函数为0时x的值，然后当x∈[-2，0]时，分区间讨论导函数的正负得到函数的增减区间，得到函数的最大值和最小值即可；
（2）令g（x）=fn（x）-nx=（1+x）n-1-nx．求出导函数，利用导数研究函数的增减性得到函数的最小值为g（0）=0，即可得证．
（2）令g（x）=fn（x）-nx=（1+x）n-1-nx．求出导函数，利用导数研究函数的增减性得到函数的最小值为g（0）=0，即可得证．
解答：解：（1）h（x）=f3（x）-f2（x）=x（1+x）2，x∈[0，2]
∴h'（x）=（1+x）2+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h'（x）=0，得x=-1或x=-
，
∴h（x）在（-2，-1），（-
，0）上单调递增，在（-1，-
）上单调递减，过点（0，0）．
∴x∈[-2.0]时，f（x）max=f（-1）=f（10）=0．f（x）min=f（-2）=-2
（2）令g（x）=fn（x）-nx=（1+x）n-1-nx．
则g'（x）=n（x+1）n-1-n=n[（x+1）n-1-1]，
∴当-2＜x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时g'（x）＞0．
∴g（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，g（x）min=g（0）=0，即g（0）≥g（x）min=0，
∴fn（x）≥nx．
∴h'（x）=（1+x）2+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h'（x）=0，得x=-1或x=-
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| 3 |
∴h（x）在（-2，-1），（-
| 1 |
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| 3 |
∴x∈[-2.0]时，f（x）max=f（-1）=f（10）=0．f（x）min=f（-2）=-2
（2）令g（x）=fn（x）-nx=（1+x）n-1-nx．
则g'（x）=n（x+1）n-1-n=n[（x+1）n-1-1]，
∴当-2＜x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时g'（x）＞0．
∴g（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，g（x）min=g（0）=0，即g（0）≥g（x）min=0，
∴fn（x）≥nx．
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及用数形结合的数学思想解决问题的能力，是一道中等题．
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上零点的个数，并给予证明．