Question

某单位的联欢活动中有一种摸球游戏，已知甲口袋中大小相同的3个球，其中2个红球，1个黑球；乙口袋中有大小相同的2个球，其中1个红球，1个白球．每次从一只口袋中摸一个球，确定颜色后再放回．摸球的规则是：先从甲口袋中摸一个球，如果摸到的不是红球，继续从甲口袋中摸一个球，只有当从甲口袋中摸到红球时，才可继续从乙口袋里摸球．从每个口袋里摸球时，如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球，则该游戏者的游戏停止．游戏规定，如果游戏者摸到2个红球，那么游戏者就中奖．现假设各次摸球均互不影响．
（Ⅰ）一个游戏者只摸2次就中奖的概率；
（Ⅱ）在游戏中，如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会，记他摸球的次数为ξ，求ξ 的数学期望．

Answer 1

分析：从甲口袋中摸一个球，摸到的球是红球的概率为

2

3

，从乙口袋里摸一个球，摸到的球是红球的概率为

1

2

．
（I）一个游戏者只摸2次就中奖，说明他第一次从甲口袋中摸到的球是红球，第二次从乙口袋中摸到的球也是红球，利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．．
（II）ξ可取2，3，4．用A表示“从甲口袋中摸一个球，摸到的球是红球”，

.

A

表示“从甲口袋中摸一个球，摸到的球不是红球”，则P（A）=

2

3

，P(

.

A

)=

1

3

．用B表示“从乙口袋中摸一个球，摸到的球是红球”，

.

B

表示“从乙口袋中摸一个球，摸到的球不是红球”，则P（B）=P(

.

B

)=

1

2

．
P（ξ=2）=P（AB）+P(

.

A

.

A

)；P（ξ=3）=P(A

.

B

B)+P(A

.

B

.

B

)+P(

.

A

AB)；P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）．得出分布列，再由公式求期望即可

解答：解：从甲口袋中摸一个球，摸到的球是红球的概率为

2

3

，从乙口袋里摸一个球，摸到的球是红球的概率为

1

2

．
（I）一个游戏者只摸2次就中奖，说明他第一次从甲口袋中摸到的球是红球，第二次从乙口袋中摸到的球也是红球，
故所求的概率P=

2

3

×

1

2

=

1

3

．
（II）ξ可取2，3，4．
用A表示“从甲口袋中摸一个球，摸到的球是红球”，

.

A

表示“从甲口袋中摸一个球，摸到的球不是红球”，则P（A）=

2

3

，P(

.

A

)=

1

3

．
用B表示“从乙口袋中摸一个球，摸到的球是红球”，

.

B

表示“从乙口袋中摸一个球，摸到的球不是红球”，则P（B）=P(

.

B

)=

1

2

．
P（ξ=2）=P（AB）+P(

.

A

.

A

)=

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

4

9

．
P（ξ=3）=P(A

.

B

B)+P(A

.

B

.

B

)+P(

.

A

AB)=

2

3

×

1

2

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

=

4

9

．
P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=

1

9

．
可得ξ的分布列为

ξ	2	3	4
P（ξ）	4 9	4 9	1 9

Eξ=2×

4

9

+3×

4

9

+4×

1

9

=

8

3

．

点评：本题考查了相互独立事件的概率计算公式、相互对立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算、分类讨论、随机变量的分布列及其数学期望，属于难题．