Question

设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，PQ是过左焦点F且与x轴不垂直的弦，若在左准线l上存在点R，使△PQR为正三角形，则椭圆离心率e的取值范围是

(

3

3

，1)

．

Answer 1

分析：利用椭圆的定义，求出PQ的中点到准线的距离，再根据△PQR为正三角形，PQ是过左焦点F且与x轴不垂直的弦，构建不等式，即可求得椭圆离心率的范围．

解答：解：设弦PQ的中点为M，过点P、M、Q分别作准线l的垂线，垂足为P'、M'、Q'
则|MM'|=

1

2

（|PP'|+|QQ'|）=

1

2e

（|PF|+|QF|）=

1

2e

|PQ|
假设存在点R，使△PQR为正三角形，则由|RM|=

3

2

|PQ|，且|MM'|＜|RM|
得：

1

2e

|PQ|＜

3

2

|PQ|
∴

1

2e

＜

3

2

∴e＞

3

3

∴椭圆离心率e的取值范围是(

3

3

，1)
故答案为：(

3

3

，1)

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查解不等式，属于基础题．