Question

如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC．
（1）求AD与平面ABC所成的角的大小；
（2）若AB=2，求点B到平面ACD的距离．

Answer 1

分析：（1）因为AB⊥平面BCD，直线CD在平面BCD内，所以AB⊥CD且∠DAB是AD与平面BCD所成的角，则∠DAB=30°．又BC⊥CD，且AB．BC是平面ABC内的两条相交直线，所以CD⊥平面ABC，则∠DAC是AD与平面ABC所成的角．由此能求出AD与平面ABC所成的角．
（2）过B作BE⊥AC，交AC于E，由AB=BC=2，AB⊥BC，知E是AC的中点，由CD⊥平面ABC，知BE⊥CD，所以BE⊥面ACD，故点B到平面ACD的距离就是BE的长．

解答：解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，且∠DAB是AD与平面BCD所成的角，
∴∠DAB=30°
∵BC⊥CD，AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
∴∠DAC是AD与平面ABC所成的角．
在Rt△ABC中，AB=BC
由勾股定理得AC=

2

AB
在Rt△ABD中，
∵∠DAB=30°
∴AD=2AB
∴在Rt△ACD中，∠ACD=90°
cos∠DAC=

AC

AD

=

2 AB

2AB

=

2

2

，
∴∠DAC=45°，
所以AD与平面ABC所成的角是45°．
（2）过B作BE⊥AC，交AC于E，
∵AB=BC=2，AB⊥BC，
∴E是AC的中点，
AC=2

2

，BE=

2

，
∵CD⊥平面ABC，
∴BE⊥CD，
∴BE⊥面ACD，
故点B到平面ACD的距离=BE=

2

．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法和点到平面的距离的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意把空间问题等价转化为平面问题．本题的易错点是空间感差，不能正确地把空间几何问题转化为平面几何问题．