Question

如图，将一块直角三角形板ABO放置于平面直角坐标系中，已知AB=BO=2，AB⊥OB．点P（1，）是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN，设直线MN的斜率k．
（Ⅰ）试用k表示△AMN的面积S，并指出k的取值范围；
（Ⅱ）试求S的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）根据题意可得，MN：，OA：y=x，
解得 ，．且 ，
于是 ，．
所以 ．
故，．
（Ⅱ），
因为当时，S'≤0，
故S=f（k）在上是减函数．
所以当时，S取得最大值．
分析：（Ⅰ）根据题意，先求直线MN，OA的方程，可解得 ，．且 ，
从而可求 ，．进而可求△AMN的面积S．
（Ⅱ）求导函数，可知S=f（k）在上是减函数，从而可求S取得最大值．
点评：本题考查的重点是函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是利用三角形的面积公式，构建函数关系式．