题目内容
先阅读下列不等式的证法：
已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求证：|a1+a2|≤
．
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
．
再解决下列问题：
（1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求证|a1+a2+a3|≤
；
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．
已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求证：|a1+a2|≤
| 2 |
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
| 2 |
再解决下列问题：
（1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求证|a1+a2+a3|≤
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（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．
（1）证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+（x-a3）2（2分）
则f（x）=3x2-2（a1+a2+a3）x+a12+a22+a32=3x2-2（a1+a2+a3）x+1（2分）
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2+a3）2-12≤0，
故得|a1+a2+a3|≤
． （2分）
（2）推广：若a1，a2，…，an∈R，a12+a22+…+an2=1，则|a1+a2+…+an|≤
． （2分）
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2，
则f（x）=nx2-2（a1+a2+…+an）x+a12+a22+…+an2=nx2-2（a1+a2+…+an）x+1．
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2+…+an）2-4n≤0，
故得|a1+a2+…+an|≤
． （2分）
则f（x）=3x2-2（a1+a2+a3）x+a12+a22+a32=3x2-2（a1+a2+a3）x+1（2分）
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2+a3）2-12≤0，
故得|a1+a2+a3|≤
| 3 |
（2）推广：若a1，a2，…，an∈R，a12+a22+…+an2=1，则|a1+a2+…+an|≤
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证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2，
则f（x）=nx2-2（a1+a2+…+an）x+a12+a22+…+an2=nx2-2（a1+a2+…+an）x+1．
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2+…+an）2-4n≤0，
故得|a1+a2+…+an|≤
| n |
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先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知
，
，求证
．
证明：构造函数
，
因为对一切
，恒有
≥0，所以
≤0，从而得，
（1）若
，
，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
，
，求证
．
，
，恒有
≥0，所以
≤0，从而得
，
，请写出上述结论的推广式；
，
，求证
．
，
，恒有
≥0，所以
≤0，从而得
，
，请写出上述结论的推广式；