Question

（1）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，求三棱锥的体积．
（2）过直角坐标平面xOy中的抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为

π

4

的直线与抛物线相交于A，B两点．用p表示A，B之间的距离．

Answer 1

分析：（1）由三棱锥的侧视图和俯视图，先求出该三棱锥的高，由此能求出其体积．
（2）焦点F（1，0），过抛物线的焦点且倾斜角为

π

4

的直线方程是y=x-

p

2

，由

y2=2px y=x- p 2

，得x2-3px+

p2

4

=0，由此能用p表示A，B之间的距离．

解答：解：（1）由三棱锥的侧视图和俯视图，
知该三棱锥的高h=

42-22

=

12

=2

3

，
∴V=

1

3

×

1

2

×6×2×2

3

=4

3

．
（2）焦点F（1，0），过抛物线的焦点且倾斜角为

π

4

的直线方程是y=x-

p

2

，
由

y2=2px y=x- p 2

，得x2-3px+

p2

4

=0，
∴x_A+x_B=3p，xAxB=

p2

4

，
∴|AB|=x_A+x_B+p=4p．

点评：第（1）考查三棱锥的体积的求法，第（2）题考查抛物线的焦点弦的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．