Question

设x，y，z∈R且x+2y+3z=1
（I）当z=1，|x+y|+|y+1|＞2时，求x的取值范围；
（II）当x＞0，y＞0，z＞0时，求的最小值．

Answer 1

解：（I）当z=1时，∵x+2y+3z=1，∴x+2y=-2，即
∴|x+y|+|y+1|＞2可化简|x-2|+|x|＞4，
∴x＜0时，-x+2-x＞4，∴x＜-1；
0≤x≤2时，-x+2+x＞4不成立；
x＞2时，x-2+x＞4，∴x＞3
综上知，x＜-1或x＞3；
（II）∵（）[（x+1）+2（y+2）+3（z+3）]≥（x+2y+3z）²
∴（）（x+2y+3z+14）≥（x+2y+3z）²，
∴
∴u，当且仅当，又x+2y+3z=1，即x=，y=，z=时，u_min=．
分析：（I）利用条件化二元为一元，再解不等式，即可求x的取值范围；
（II）利用柯西不等式，即可求得u的最小值．
点评：本题考查解不等式，考查函数的最值，正确运用柯西不等式是关键．