题目内容
甲袋中装有若干质地、大小相同的黑球、白球，乙袋中装有若干个质地、大小相同的黑球、红球．某人有放回地从两袋中每次取一球，甲袋中每取到一黑球得2分，乙袋中每取到一黑球得1分，取得其它球得零分，规定他最多取3次，如果前两次得分之和超过2分即停止取球，否则取第三次，取球方式：先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球，此人在乙袋中取到一个黑球的概率为0.8，用ξ表示他取球结束后的总分，已知P（ξ=1）=0.24（1）求随机变量ξ的数学期望；
（2）试比较此人选择每次都在乙袋中取球得分超过1分与选择上述方式取球得分超过1 分的概率的大小．
【答案】分析：（1）设此人在甲袋中取到一个黑球的概率为p，然后根据P（ξ=1）求出p的值，然后分别求出ξ的取值为0，1，2，3时的概率，最后根据数学期望公式进行求解即可；
（2）用A表示事件“该人选择先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过（1分）”，用B表示事件“该人选择都在乙袋中取球，得分超过（1分）”然后根据相互独立事件的概率乘法公式求出P（B）与P（A），从而得到它们的大小关系．
解答：解：（1）设此人在甲袋中取到一个黑球的概率为p，
则P（ξ=1）=（1-p）×0.8×0.2+（1-p）×0.2×0.8=0.24
P=0.25 …（2分）
依题意ξ的取值为0，1，2，3P（ξ=0）=（1-0.25）×（1-0.8）×（1-0.8）=0.03…（3分）
P（ξ=2）=0.25×（1-0.8）×（1-0.8）+0.75×0.8×0.8=0.49…（4分）
P（ξ=3）=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24…（5分）
Eξ=0×0.03+1×0.24+2×0.49+3×0.24=1.94…（7分）
（2）用A表示事件“该人选择先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过（1分）”
用B表示事件“该人选择都在乙袋中取球，得分超过（1分）”则
P（A）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.49+0.24=0.73…（9分）
P（B）=0.8×0.8×0.2×3+0.8×0.8×0.8=0.896
故P（B）＞P（A）即该人选择每次在乙袋中取球得分超过（1分）的概率大于该人选择
先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过（1分）的概率 …（12分）
点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望与相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
（2）用A表示事件“该人选择先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过（1分）”，用B表示事件“该人选择都在乙袋中取球，得分超过（1分）”然后根据相互独立事件的概率乘法公式求出P（B）与P（A），从而得到它们的大小关系．
解答：解：（1）设此人在甲袋中取到一个黑球的概率为p，
则P（ξ=1）=（1-p）×0.8×0.2+（1-p）×0.2×0.8=0.24
P=0.25 …（2分）
依题意ξ的取值为0，1，2，3P（ξ=0）=（1-0.25）×（1-0.8）×（1-0.8）=0.03…（3分）
P（ξ=2）=0.25×（1-0.8）×（1-0.8）+0.75×0.8×0.8=0.49…（4分）
P（ξ=3）=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24…（5分）
Eξ=0×0.03+1×0.24+2×0.49+3×0.24=1.94…（7分）
（2）用A表示事件“该人选择先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过（1分）”
用B表示事件“该人选择都在乙袋中取球，得分超过（1分）”则
P（A）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.49+0.24=0.73…（9分）
P（B）=0.8×0.8×0.2×3+0.8×0.8×0.8=0.896
故P（B）＞P（A）即该人选择每次在乙袋中取球得分超过（1分）的概率大于该人选择
先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过（1分）的概率 …（12分）
点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望与相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
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