Question

（2010北京理数）（19）（本小题共14分）

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.

    设点的坐标为

    由题意得

    化简得  .

    故动点的轨迹方程为

（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.

  则直线的方程为，直线的方程为

当时，得

又，

所以=，解得。

因为，所以

故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.

解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为

       则.

       因为,

       所以

       所以

       即 ，解得

       因为，所以

       故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.