Question

已知g（x）=ln（e^x+b）（b为常数）是实数集R上的奇函数，当g（x）＞0时，有f(x)=lng(x)+

a

x

．
（1）求b的值；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义进行整理化简是解决本体的关键，注意对数运算性质的灵活运用，指数运算性质的运用和变形，以及恒成立问题的处理方法；
（2）利用导数作为工具求解该函数在闭区间上的最值是解决本题的关键，根据该函数在何处取到最值列出关于a的方程达到求解a的目的．

解答：解：（1）∵g（-x）=-g（x）∴ln（e^-x+b）+ln（e^x+b）=0?（e^-x+b）（e^x+b）=1
?（e^-x+e^x）b+b²=0?（e^-x+e^x+b）b=0?b=0．
（2）由（1）知f(x)=lnx+

a

x

（x＞0），则f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

在[1，e]上，讨论如下：
①当a＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，
这与函数在[1，e]上的最小值是

3

2

相矛盾；
②当a=1时，函数f（x）在（1，e]单调递增，其最小值为f（1）=1，同样与最小值是

3

2

相矛盾；
③当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，单调递减，
在（a，e]上有f''（x）＞0，单调递增，所以函数f（x）满足最小值为f（a）=lna+1
由lna+1=

3

2

，得a=

e

．
④当a=e时，函数f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，单调递减，其最小值为f（e）=2，还与最小值是

3

2

相矛盾；
⑤当a＞e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)=1+

a

e

＞2，
仍与最小值是

3

2

相矛盾；综上所述，a的值为

e

．

点评：本题考查函数奇偶性的运用，考查学生运用奇偶性定义进行未知数求解的思想和方法．考查函数的导数工具作用，考查学生运用导数解决函数的最值的思想和方法，考查学生运用分类讨论思想和方法解题的能力．