题目内容

已知已知函数f（x）的图象与函数g（x）=ax的图象关于直线y=x对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当a＞1时，若f（x）＜f（2），试确定实数x的取值范围．
分析：（1）根据函数f（x）的图象与函数g（x）=ax的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=ax的反函数，由此可得f（x）的解析式；
（2）由（1）得，a＞1时，函数f（x）=logax在（0，+∞）上是增函数，利用其单调性求解不等式f（x）＜f（2）即得．
解答：解：（1）依题意可知函数f（x）与g（x）互为反函数，
故所求函数解析式为f（x）=logax．…（5分）
（2）∵a＞1，f（x）＜f（2），
∴logax＜loga2
∴0＜x＜2…（（10分）
点评：本题属于基础性题，解题思路清晰，方向明确，注意抓住函数y=ax的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称这一特点，确认f（x）是原函数的反函数非常重要，是本题解决的突破口．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）的定义域为R，且对于一切实数x满足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x）
（1）若f（5）=9，求：f（-5）；
（2）已知x∈[2，7]时，f（x）=（x-2）2，求当x∈[16，20]时，函数g（x）=2x-f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值；
（3）若f（x）=0的一根是0，记f（x）=0在区间[-1000，1000]上的根数为N，求N的最小值．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）=px3+qx2+2在x=2处取得极小值-2．
（1）设T（x）=f（x）+m，若T（x）有三个零点，求实数m的范围；
（2）是否存在实数k，当a+b≤2时，使得函数g(x)=
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f′(x)+k在定义域[a，b]上值域为[a，b]（a≠b），若存在，求k的范围；若不存在，说明理由．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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