Question

设n为奇数，那么11ⁿ+

C

1 n

•11n-1

+C

2 n

•11n-2+…

+C

n-1 n

•11-1除以13的余数是（　　）

A．-3

B．2

C．10

D．11

Answer 1

分析：根据题意，由二项式定理，可以将11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11-1变形为C_n⁰•13ⁿ-C_n¹•13^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•13+（-1）ⁿC_nⁿ-2，又由n为奇数，则可得11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11-1=C_n⁰•13ⁿ-C_n¹•13^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•13-3，即可得到答案．

解答：解：根据题意，11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11-1
=11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11+C_nⁿ-2
=（11+1）ⁿ-2=12ⁿ-2=（13-1）ⁿ-2
=C_n⁰•13ⁿ-C_n¹•13^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•13+（-1）ⁿC_nⁿ-2
又由n为奇数，则11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11-1=C_n⁰•13ⁿ-C_n¹•13^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•13-3，
且C_n⁰•13ⁿ-C_n¹•13^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•13可以被13整除，
则11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11-1被13除所得的余数是10．
故选：C．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，将条件进行等价变形是解决本题的关键．