Question

某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）

	年固定成本	每件产品成本	每件产品销售价	每年最多可生产的件数
A产品	20	m	10	200
B产品	40	8	18	120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B 产品时需上交0.05x²万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y₁，y₂与生产相应产品的件数x之间的函数关系；
（2）分别求出投资生产这两种产品的最大利润；
（3）该企业投资哪种产品可获得最大利润？

Answer 1

解：（1）生产A产品的年利润y₁=10x-（20+mx）=（10-m）x-20（其中0＜x≤200，且x∈N）；
生产B产品的年利润y₂=18x-（8x+40）-0.05x²=-0.05x²+10x-40（其中0＜x≤120，且x∈N）．
（2）由m∈[6，8]，得10-m＞0，∴y₁=（10-m）x-20为增函数；
又0≤x≤200，x∈N∴x=200时，生产A产品有最大利润为（10-m）×200-20=1980-200m（万美元）；
y₂=-0.05x²+10x-40=-0.05（x-100）²+460（其中0≤x≤120，x∈N），
∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）．
（3）由（y₁）_max-（y₂）_max=1980-200m-460=1520-200m，得：
当1520-200m＞0时，6≤m＜7.6，此时投资A产品200件可获得最大利润；
当1520-200m=0时，m=7.6，此时生产A产品与B产品均可获得最大年利润；
当1520-200m＜0时，7.6＜m≤8，此时投资B产品100件可获得最大利润．
分析：（1）生产A产品的年利润y₁=每件产品销售价×年产量-（固定成本+可变成本）；同理，生产B产品的年利润y₂也可求得．
（2）由m∈[6，8]，得10-m＞0，∴y₁=（10-m）x-20是增函数，且0≤x≤200，易知x=200时，y₁有最大值；
二次函数y₂=-0.05x²+10x-40，易求得当x=100时，y₂有最大值．
（3）用y₁的最大值和y₂的最大值作差，比较可得何时投资哪种产品获得利润最大．
点评：本题考查了利润函数模型的应用；利润函数y=销售价×产量-（固定成本+可变成本），在求最值时通常先考虑函数的定义域和单调性．