题目内容
从椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0）和抛物线C2：x2=2py（p＞0）上各取两点．将其坐标记录于表中：
（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（2）椭圆C1和抛物线C2的交点记为A、B，点M为椭圆上任意一点，求
•
的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x | -3 | 0 | 1 |
| ||||||||||
| y |
|
|
|
|
（2）椭圆C1和抛物线C2的交点记为A、B，点M为椭圆上任意一点，求
| MA |
| MB |
分析：（1）先利用
=2p（常数）判断哪两点在抛物线C2上，从而另外两点在椭圆C1上．再利用待定系数法，即可求出椭圆C1和抛物线C2的方程；
（2）设点M的坐标为（x0，y0），利用数量积的坐标公式将
•
转化成x0，y0的式子，结合点M在椭圆C1上可得x0，y0满足的关系式，从而将
•
表示成关于y0的代数式，利用配方法并根据y0的范围加以计算，即可得到
•
的取值范围．
| x2 |
| y |
（2）设点M的坐标为（x0，y0），利用数量积的坐标公式将
| MA |
| MB |
| MA |
| MB |
| MA |
| MB |
解答：解：（1）根据抛物线方程x2=2py，经验证知点（-3，
）、（1，
）在抛物线C2上，
由此可得（-3）2=2p×
，解得2p=4，抛物线C2方程为x2=4y，
∵点（0，
）、（
，
）在椭圆C1上，
∴
，解之得a2=8，b2=2，得椭圆C1方程为
+
=1；
（2）将椭圆C1方程与抛物线方程联解，得A（-2，1），B（2，1）
设点M的坐标为（x0，y0），可得
=(-2-x0，1-y0)，
=(2-x0，1-y0)
∴
•
=（-2-x0）（2-x0）+（1-y0）（1-y0）=x02-4+y02-2y0+1
结合椭圆方程，化简得
•
=-3-2y0+5=-3（y0+
）2+
∵y0∈[-2，2]，∴-3（y0+
）2+
∈[-1-
，
]
即
•
的取值范围[-1-
，
]．
| 9 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
由此可得（-3）2=2p×
| 9 |
| 4 |
∵点（0，
| 2 |
| 5 |
| ||
| 2 |
∴
|
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 2 |
（2）将椭圆C1方程与抛物线方程联解，得A（-2，1），B（2，1）
设点M的坐标为（x0，y0），可得
| MA |
| MB |
∴
| MA |
| MB |
结合椭圆方程，化简得
| MA |
| MB |
| 1 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
∵y0∈[-2，2]，∴-3（y0+
| 1 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
| 2 |
| 16 |
| 3 |
即
| MA |
| MB |
| 2 |
| 16 |
| 3 |
点评：本题给出椭圆抛物线经过的定点，求它们的方程并研究
•
的取值范围，着重考查了椭圆、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
| MA |
| MB |
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