Question

16、已知变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为

a＞1

．

Answer 1

分析：本题主要考察线性规划的基本知识，先画出约束条件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2的可行域，再由目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，我们不难分析直线斜率的取值范围．

解答：解：已知变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2．
在坐标系中画出可行域，
如图为四边形ABCD，其中A（3，1），
k_AD=1，k_AB=-1，
目标函数z=ax+y（其中a＞0）中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小，
若仅在点（3，1）处取得最大值，
则斜率应小于k_AB=-1，
即-a＜-1，
所以a的取值范围为（1，+∞）．

点评：用图解法解决线性规划问题时，若目标函数z=ax+y只在点A处取得最优解，则过点A线z=ax+y与可行域只有一个交点，由此不难给出直线斜率-a的范围，进一步给出a的范围，但在蟹题时要注意，区分目标函数是取最大值，还是最小值，这也是这种题型最容易出错的地方．