Question

如果存在正实数a，使得f（x-a）为奇函数，f（x+a）为偶函数，我们称函数f（x）为“和谐函数”．则下列函数是“和谐函数”有

 

．（把所有正确的序号都填上）
①f（x）=（x-1）²+5
②f（x）=cos2（x-

π

4

）
③f（x）=sinxcosx
④f（x）=ln|x+1|．

Answer 1

分析：①由f（0）=6≠0，故无论正数a取什么值，f（x-a）都不是奇函数，因此函数f（x）不可能是“和谐函数”；
②先化简f（x）=sin2x，因为只有将函数f（x）的图象向左或向右平移

π

4

的整数倍时，才为奇函数或偶函数，代入进行验证看是否符合“和谐函数”的定义即可；
③由f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x，所以同②；
④只有f（x-1）=ln|x|为偶函数；而f（x+1）=ln|x+2|为非奇非偶函数，故可得出答案．

解答：解：①由f（x）=（x-1）²+5，∴f（x+1）=x²+5是偶函数，∵f（0）=6≠0，∴无论正数a取什么值，f（x-a）都不是奇函数，函数f（x）不可能是“和谐函数”；
②∵f（x）=cos（2x-

π

2

）=sin2x，
∴当a=kπ±

π

4

时，f（x±a）=sin(2x±(2kπ±

π

2

))=±cos2x为偶函数；
当a=kπ±

π

2

时，f（x±a）=sin（2x±（2kπ±π））=±sinx为奇函数．
因为只有将函数f（x）的图象向左或向右平移

π

4

的整数倍时，才为奇函数或偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”．
③∵f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x，同②；
④∵f（x）=ln|x+1|，∴只有f（x-1）=ln|x|为偶函数；而f（x+1）=ln|x+2|为非奇非偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”．
综上可知：①②③④都不是“和谐函数”．
故答案为0个．

点评：正确理解“和谐函数”的意义是解题的关键．