Question

已知双曲线过点P(-3

2

，4)，它的渐近线方程为y=±

4

3

x
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F₁和F₂是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF₁|•|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由双曲线的渐近线方程可设双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=λ，λ≠0；又因为双曲线过点P(-3

2

，4)，将P的坐标代入可得λ=1；将λ=1代入可得答案；
（2）设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，根据题意有d₁•d₂=32，又由双曲线的几何性质知|d₁-d₂|=2a=6，结合平方差公式可得d₁²+d₂²的值，又|F₁F₂|=2c=10，结合勾股定理可得答案．

解答：解：（1）根据题意，双曲线的渐近线方程为y=±

4

3

x，
可设双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=λ，λ≠0；
双曲线过点P(-3

2

，4)，将P的坐标代入可得λ=1；
则所求的双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=1
（2）设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，则d₁•d₂=32，
又由双曲线的几何性质知|d₁-d₂|=2a=6，
∴d₁²+d₂²-2d₁d₂=36即有d₁²+d₂²=36+2d₁d₂=100，
又|F₁F₂|=2c=10，
∴|F₁F₂|²=100=d₁²+d₂²=|PF₁|²+|PF₂|²
△PF₁F₂是直角三角形，
∠F₁PF₂=90°．

点评：本题考查双曲线的应用，涉及双曲线的标准方程、定义以及平方差公式等多个知识点，需要平时特别注意，加强训练．