Question

已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．
（Ⅰ）求△ABC的顶点B、C的坐标；
（Ⅱ） 若圆M经过A、B且与直线x-y+3=0相切于点P（-3，0），求圆M的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点C（m，n），由于顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0，AC边上的高BH所在直线的方程y=0，可得m=0，2m-2n-1=0，即可解得n．设B（b，0），则AB的中点D(

b

2

，

1

2

)，
代入方程2x-2y-1=0，可得b-1-1=0，解得b即可．
（II）利用垂径定理可得：圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0，由于⊙M与x-y+3=0相切，切点为（-3，0）可得，圆心所在直线为y+x+3=0，联立可得⊙M的圆心．进而得到半径和圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）设点C（m，n），
∵顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0，AC边上的高BH所在直线的方程y=0
∴m=0，2m-2n-1=0，解得n=-

1

2

．
∴C(0，-

1

2

)．
设B（b，0），则AB的中点D(

b

2

，

1

2

)，
代入方程2x-2y-1=0，可得b-1-1=0，解得b=2，
∴B（2，0）．
（Ⅱ） 由A（0，1），B（2，0）可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0，①
由与x-y+3=0相切，切点为（-3，0）可得，圆心所在直线为y+x+3=0，②
①②联立可得，M(-

1

2

，-

5

2

)，
半径R=|MA|=

1 4 + 49 4

=

50

2

，
∴所求圆方程为(x+

1

2

)2+(y+

5

2

)2=

25

2

．
即x²+y²+x+5y-6=0．

点评：本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、垂径定理、圆的切线的性质、圆的方程等基础知识与基本技能方法，属于难题．