Question

（理）已知圆M：（x+）²+y²=36，定点N（），点P为圆M上的动点，点G在MP上，且满足|GP|=|GN|
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|PG|=|GN|，知|GN|+|GM|=|MP|=6，由椭圆定义可知，点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，由此能求出点G的轨迹C的方程．
（2）因为=，所以四边形OASB为平行四边形，假设存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形，故．由此能够推出导出存在直线l的方程为3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，使四边形OASB的对角线相等．
解答：解：（1）∵|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=6，
又∵|MN|=2，∴|GN|+|GM|＞|MN|，
由椭圆定义可知，点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，
设方程为，
则2a=6，2c=2，∴a=3，c=，b==2，
∴点G的轨迹方程是．…（5分）
（2）因为=，所以四边形OASB为平行四边形，
假设存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形，
∴．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，
由，得，
此时，或矛盾，不合题意，舍去．
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，
△=（-36k²）²-144（9k²+4）（k²-1）=720k²+576＞0．（※）
∴，=，①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]
=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=-，②
把①②代入x₁x₂+y₁y₂=0，
解得k=，代入（※）式，验证成立．
∴直线l的方程为y=（x-2），即3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，
故存在直线l的方程为3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，使四边形OASB的对角线相等．
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想、分类讨论思想的合理运用．