Question

已知g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g（x）+h（x）=e^x．
（1）求g（x），h（x）的解析式；
（2）解不等式h（x²+2x）+h（x-4）＞0；
（3）若对任意x∈[ln2，ln3]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）方程法：把方程中的x换成-x，然后利用奇偶性可得另一方程，联立可解得g（x）、h（x）；
（2）易判断h（x）为R上的增函数且为奇函数，由此可去掉不等式中的符号“f”，转化为二次不等式，解出即可；
（3）分离出不等式中的参数a，然后利用不等式求出函数的最值即可；

解答：解：（1）由

g(-x)+h(-x)=e-x g(x)+h(x)=ex

，得

g(x)-h(x)=e-x g(x)+h(x)=ex

，
解得g（x）=

ex+e-x

2

，h（x）=

ex-e-x

2

．
（2）因为h（x）在R上时单调递增的奇函数，
所以h（x²+2x）+h（x-4）＞0?h（x²+2x）＞h（4-x），
所以x²+3x-4＞0，解得x＞1或x＜-4，
所以不等式的解集为：{x|x＞1或x＜-4}．
（3）g（2x）-ah（x）≥0，即得

e2x+e-2x

2

-a•

ex-e-x

2

≥0，参数分离得
a≤

e2x+e-2x

ex-e-x

=

(ex-e-x)2+2

ex-e-x

=e^x-e^-x+

2

ex-e-x

，
令t=e^x-e^-x，则e^x-e^-x+

2

ex-e-x

=t+

2

t

=F（t），
于是F（t）=t+

2

t

，t∈[

3

2

，

8

3

]，
因为F（t）_min=F（

3

2

）=

17

6

，
所以a≤

17

6

．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查函数恒成立问题，考查学生解决问题的能力．