Question

当n∈N^*时，Sn=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

，
（Ⅰ）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（Ⅱ）猜想S_n与T_n的关系，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（I）由已知直接利用n=1，2，求出S₁，S₂，T₁，T₂的值；
（II）利用（1）的结果，直接猜想S_n=T_n，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k时，S_k=T_k，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．

解答：解：（I）∵当n∈N^*时，Sn=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

，T_n=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

．
∴S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

=

7

12

，T₁=

1

1+1

=

1

2

，T₂=

1

2+1

+

1

2+2

=

7

12

（2分）
（II）猜想：S_n=T_n（n∈N*），即：
1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S₁=T₁（6分）
②假设n=k时，S_k=T_k（k≥1，k∈N*），
即：1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2k-1

-

1

2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

（8分）
则：S_k+1=S_k+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

=T_k+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

（10分）
=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

（11分）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+（

1

k+1

-

1

2(k+1)

）
=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

2k+1

+

1

2(k+1)

=T_k+1，
由①，②可知，对任意n∈N*，S_n=T_n都成立．（14分）

点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．