题目内容

已知函数 $数学公式$ 有极值，且曲线y=f（x）在点f（1）处的切线斜率为3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b．
由题意，得 $\text{[math]}$
所以，f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）由（1）知f'（x）=x³+4x-4=（x+2）（3x-2）．
$\text{[math]}$ ．

x	-4	（-4，-2）	-2	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	1
f（x）		+	0	-	0	+
f（x）			极大值		极小值
函数值	-11		13		$\text{[math]}$		4

∴f（x）在[-4，1]上的最大值为13，最小值为-11．
分析：（1）先求函数f（x）=x³+ax²+bx+5的导函数，再由x= $\text{[math]}$ 时，y=f（x）有极值，列一方程，曲线y=f（x）在点f（1）处的切线斜率为3，列一方程，联立两方程即可得a、b值
（2）先求函数f（x）=x³+ax²+bx+5的导函数，再解不等式得函数的单调区间，最后列表列出端点值f（-4），f（1）及极值，通过比较求出y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值
点评：本题考查了导数在函数极值和函数最值中的应用，解题时要耐心细致，规范解题步骤，避免出错．