Question

有编号01～12的12种食品，它们微量元素A的含量依次是：42、45、a、b、85、94、100、108、133、138、150、175（其中45＜a＜b＜85），平均含量和方差分别是100、1656．
①求a、b；
②按编号用系统抽样法从以上12种食品中随机地抽4种分析微量元素B，求06号食品被抽中的概率；
③如果微量元素B与微量元素A具有线性相关关系，②抽样所得样本中，哪个样本用来分析微量元素B更有代表性？
（参考数值：（42-100）²+（45-100）²+（85-100）²+（94-100）²+（100-100）²+（108-100）²+（133-100）²+（138-100）²+（150-100）²+（175-100）²=17372）

Answer 1

分析：①根据条件中所给的平均数和期望，写出表达式，整理出关于a，b的方程组，解方程组，得到要求的结果．
②依题意，被抽取的样本有三组，编号为01、04、07、10的食品；编号为02、05、08、11的食品；编号为03、06、09、12的食品．每一组被抽取是等可能的，做出概率．
③分别求出三组样本微量元素A的平均含量，分别做出三组样本的方差分别是1270.75、1444.5、1847.25，综合比较样本与总体的均值和方差，得到第二组食品组成的样本更有代表性．

解答：解：①依题意，

42+45+a+b+85+94+100++175

12

=100，

17372+(a-100)2+(b-100)2

12

=1656，
即

a+b=130 a2+b2=8500

，
解得

a=60 b=70

．
②依题意，被抽取的样本有三组--第一组，编号为01、04、07、10的食品；
第二组，编号为02、05、08、11的食品；第三组，编号为03、06、09、12的食品．每一组被抽取是等可能的，06号食品在第三组，所以06号食品被抽中的概率p=

1

3

．
③三组样本微量元素A的平均含量分别是

42+70+100+138

4

=87.5，

45+85+108+150

4

=97，

60+94+133+175

4

=115.5，
三组样本的方差分别是1270.75、1444.5、1847.25，综合比较样本与总体的均值和方差，
第二组，即编号为02、05、08、11的4种食品组成的样本更有代表性．

点评：本题考查数据的数字特征、抽样与样本代表性、古典概型概率的综合．解题关键是根据数字特征、抽样等的统计意义进行计算，是一个统计的综合题．