题目内容

若对任意角θ,都有
cosθ
a
+
sinθ
b
=2,则下列不等式恒成立的是(  )
A、a2+b2≤4
B、a2+b2≥4
C、a2+b2≤4a2b2
D、a2+b2≥4a2b2
分析:由条件可得 (bcosθ+asinθ)2=4a2b2,再由 (bcosθ+asinθ)2≤(a2+b2) (cos2θ+sin2θ),得出结论.
解答:解:∵
cosθ
a
+
sinθ
b
=2,∴bcosθ+asinθ=2ab,平方可得(bcosθ+asinθ)2=4a2b2
∵(bcosθ+asinθ)2≤(a2+b2) (cos2θ+sin2θ)=a2+b2
∴a2+b2≥4a2b2
故选D.
点评:本题考查同角三角函数的基本关系,以及不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 的应用,得到 (bcosθ+asinθ)2≤(a2+b2) (cos2θ+sin2θ),是解题的关键.
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