题目内容

《文汇报》载，举世瞩目的上海磁悬浮列车工程于2003年3月2日在浦东新区开工，该工程全线长35km．磁悬浮列车运行时悬浮于轨道上面，运行平稳舒适，安全无噪声，可以实现全自动化运行．据德国科学家预言，到2014年，采用新技术的磁悬浮列车的时速将达到1000km/h．现假设上海磁悬浮列车每小时使用的能源费用（千元）和列车速度（km/h）的立方成正比，且最大速度不超过550km/h．当速度是100km/h时，它的能源费用是每小时0.04千元，其余费用（不论速度如何）都是每小时40.96千元，
（1）求列车试运行时，完成全程路线所需的总费用与车速的函数关系；
（2）求车速为多少时，运行的总费用最低？（若写不下，可做在反面）

解：（1）设能源费用每小时是q千元，车速是vkm/h，依题意有q=kv³（k为比例系数），
将v=100，q=0.04代入得k=4×10^-8．于是有q=4×10^-8v³．
因此列车从甲地行驶到乙地，所需的总费用为y=f（x）=1.4×10^-6x²+ $\text{[math]}$
（2）因为f（x）=1.4×10^-6x²+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
≥3[（1.4×10^-6x²）×（ $\text{[math]}$ ）×（ $\text{[math]}$ ）] $\text{[math]}$ ═2.688（千元）．
并且最小值在1.4×10^-6x²= $\text{[math]}$ 时取得，对应的x=800km/h
当且仅当v²=，即v=800时，上面不等式取等号．
但由实际情况可知，目前建造的列车根本达不到800km/h这个速度，即上式中的v是有限制的：0＜v≤550，因此不能利用均值不等式来求函数的最值．我们可以证明函数f（v）在定义域（0，550）上是单调递减的，故车速为550km/h时，运行的总费用最低．
分析：（1）依题意要明确三点：1、列车运行的总费用由两部分组成，即能源费用及其余费用，2、为了求出能源费用，还必须求出列车每小时使用的能源费用与列车速度的立方成正比的比例系数，3、要注意实际背景下的函数定义域，以获得具有实际意义的答案．
（2）利用均值不等式求出函数的最小值，注意定义域，然后根据函数的单调性求最值即可．
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，同时考查了利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．