Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列前n项和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，∴，
∴，，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
，可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
．①
．②
由①-②得．
∴．
分析：（I）由于各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，两边同除以a_na_n+1，即可得到，转化为等差数列，利用通项公式即可得出；
（II）由（Ⅰ）知．利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．
点评：熟练掌握等差数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式是解题的关键．