题目内容
若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球表面积之比为( )
A、2:1 | B、3:1 | C、4:1 | D、5:1 |
分析:设正三棱柱底面正三角形的边长为a,当球内切于正三棱柱时,球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距,求出正三棱柱的高为2R1,当球外接正三棱柱时,球心是正三棱柱上下底面中心连线段的中点,且球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥,求出外接球的半径,即可求出内切球与外接球表面积之比.
解答:解:设正三棱柱底面正三角形的边长为a,
当球内切于正三棱柱时,球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距
a,故正三棱柱的高为2×
a=
a,
当球外接正三棱柱时,球心是上下底面中心连线段的中点,且球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥,R22=(
a)2+(
a)2,
∴R2=
a
∴外接球与内切球半径之比为R1:R2=
a:
a=
:1.
∴外接球与内切球表面积之比为5:1
故选D.
当球内切于正三棱柱时,球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距
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6 |
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6 |
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3 |
当球外接正三棱柱时,球心是上下底面中心连线段的中点,且球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥,R22=(
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3 |
∴R2=
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6 |
∴外接球与内切球半径之比为R1:R2=
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∴外接球与内切球表面积之比为5:1
故选D.
点评:本题是基础题,考查空间想象能力,分析问题解决问题的能力,是常考题型,求内切球与外接球的半径是解决本题的关键所在.

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