Question

经过抛物线y²=2px的焦点F作倾角为θ的直线，若该直线与抛物线交于P₁、P₂两点．
（1）求|P₁P₂|；
（2）当θ变化时，求|P₁P₂|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可求得抛物线的焦点，进而可求得直线的方程，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）把直线与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x₁+x₂，然后根据抛物线定义可求得|P₁P₂|=x₁+x₂+p，答案可得．
（2）根据（1）中关于|P₁P₂|的表达式化简整理后可知当θ=

π

2

时，由最小值．

解答：解：（1）抛物线焦点坐标为（

p

2

，0），
当θ=90°时，将x=

p

2

代入，可解得P₁、P₂两点的纵坐标分别为-p，p，此时有|P₁P₂|=2p；
当θ≠90°时，则直线方程为y=tanθ（x-

p

2

），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）
代入抛物线方程得tan²θx²-（tan²θp+2p）x+

p2

4

=0
则x₁+x₂=

tan2θp+2p

tan2θ

根据抛物线定义可知|P₁P₂|=x₁+

p

2

x₂+

p

2

=x₁+x₂+p=

2tan2θp+2p

tan2θ

=

2p

sin 2θ

又θ=90°时，2p=

2p

sin 2θ

∴|P₁P₂|=

2p

sin 2θ

（2）由（1）可知|P₁P₂|=

2p

sin 2θ

，
∵-1≤sinθ≤1，
∴

2p

sin 2θ

≥2p，当θ=90°时等号成立
即|P₁P₂|的最小值为2p．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）．