Question

16、下面关于三棱锥P-ABC的五个命题中，正确的命题有

①③④⑤

．①当△ABC为等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等时，三棱锥P-ABC为正三棱锥；②当△ABC为等边三角形，侧面都为等腰三角形时，三棱锥P-ABC为正三棱锥；③当△ABC为等边三角形，点A在侧面PBC上的射影是三角形PBC的垂心时，P-ABC为正三棱锥；④若三棱锥P-ABC各棱相等时，它的外接球半径和高的比为3：4：⑤当三棱锥P-ABC各棱长相等时，若动点M在侧面PAB内运动，且点M到面ABC的距离与点M到点P的距离相等，则M的轨迹为椭圆的一部分．

Answer 1

分析：本题综合的考察了棱锥的结构特征、轨迹方程、二面角等知识点，要想判断出题目中5个命题中正确的命题，我们要根据所学的定义、概念、性质，对所列的命题逐一进行判断．

解答：解：①∵侧面与底面所成的二面角都相等，故三个侧面的侧高均相等，
则顶点在底面上的射影到底面三边的距离也相等，即为底面的内心，故①正确．
②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，
侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥． 故②错误
③当△ABC为等边三角形，点A在侧面PBC上的射影是三角形PBC的垂心时，P-ABC为正三棱锥，故③正确
④若三棱锥P-ABC各棱相等时，它的外接球半径和高的比为3：4，故④正确
⑤当三棱锥P-ABC各棱长相等时，若动点M在侧面PAB内运动，
且点M到面ABC的距离与点M到点P的距离相等，
则M到P的距离与到BC的距离之比为定值，而且介于0到1之间，由椭圆的定义，故⑤正确
故答案为：①③④⑤

点评：判断一个三棱椎是否是正三棱锥，有两种办法：①底面为正三角形，侧棱都相等；②底面是正三角形，顶点在底面上的射影落在底面的中心．