题目内容

a、b∈R+，
a
b
≠
2
，求证：
2
在
a
b
与
a+2b
a+b
之间
分析：本题考查的知识点是不等式的证明--比较法，要证明两个数a，b的大小关系，我们可以判断a-b与0的关系，则要证明
2
在
a
b
与
a+2b
a+b
之间，我们可以构造
a+2b
a+b
-
2
，证明若
a
b
＞
2
时，
a+2b
a+b
-
2
＜0；若
a
b
＜
2
时
a+2b
a+b
-
2
＞0．
解答：证明：∵
a+2b
a+b
-
2

=
(1-
2
)a+(2-
2
)b
a+b

=
(1-
2
)a-
2
(1-
2
)b
a+b

=
(1-
2
)(a-
2
b)
a+b

又∵a、b∈R+，
a
b
≠
2

若
a
b
＞
2
，则a＞
2
b，此时
a+2b
a+b
-
2
＜0，即
a+2b
a+b
＜
2
＜
a
b
；
若
a
b
＜
2
，则a＜
2
b，此时
a+2b
a+b
-
2
＞0，即
a
b
＜
2
＜
a+2b
a+b
；
故：
2
在
a
b
与
a+2b
a+b
之间．
点评：比较法证明不等式是不等式证明中最常用的方法，其方法为：
若证f（x）＞g（x），则可转化为证明f（x）-g（x）＞0；
若证f（x）＜g（x），则可转化为证明f（x）-g（x）＜0；
练习册系列答案
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直线x+a2y+1=0与直线（a2+1）x-by+3=0互相垂直，a、b∈R且ab≠0，则|ab|的最小值是（　　）
A、4B、3C、2D、1
3、函数f（x）=ax3+bx2-2x（a、b∈R且ab≠0）的图象如如图所示，且x1+x2＜0，则有（　　）
（2012•泉州模拟）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f(x)≤|f(
π
6
)|对一切x∈R恒成立，则
①f(
11π
12
)=0；
②|f(
7π
12
)|＜|f(
π
5
)|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+
π
6
， kπ+
2π
3
] (k∈Z)；
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．
以上结论正确的是
①③
①③
（写出所有正确结论的编号）．
设f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（
π
6
）|对一切x∈R恒成立，则
①f（
11π
12
）=0．
②|f（
7π
10
）|＜|f（
π
5
）|．
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
④f（x）的单调递增区间是[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）．
以上结论正确的是
①③
①③
（写出正确结论的编号）．
设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f(x)≤|f(
π
6
)|对一切x∈R恒成立，则   
①f(-
π
12
)=0；    
②f（x）的图象关于x=
π
6
对称；
③f（x）的单调递减区间是[kπ+
π
6
， kπ+
2π
3
] (k∈Z)；
④|f(
7π
12
)|＞|f(
π
5
)|；
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是
 
（写出所有正确结论的编号）．

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