题目内容

设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数,前n项和为Sn,已知点Pn(xn,Sn)在直线y=kx+b上(其中,常数k≠0,且k≠1),又yn=log0.5xn.

(1)求证:数列{xn}是等比数列;

(2)如果yn=18-3n,求实数k,b的值;

(3)如果存在t,s∈N*,s≠t，使得点（t,ys）和（s,yt）都在直线y=2x+1上,试判断,是否存在自然数M,当n＞M时,xn＞1恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.

解:(1)证明：∵点Pn,Pn+1都在直线y=kx+b上,∴=k,得(k-1)xn+1=kxn.

∵常数k≠0,且k≠1,∴(非零常数).∴数列{xn}是等比数列.

(2)由yn=log0.5xn,得xn==8n-6=8-58n-1,∴=8,得k=.

由Pn在直线上,得Sn=kxn+b,令n=1得b=S1x1=x1=.

(3)xn＞1恒成立等价于yn＜0,

∵存在t,s∈N，使得(t,ys)和（s,yt)都在y=2x+1上,∴ys=2t+1,①

yt=2s+1,②

①-②,得ys-yt=2(t-s).易证{yn}是等差数列,设其公差为d,则有ys-yt=(s-t)d,

∵s≠t,∴d=-2＜0.①+②,得ys+yt=2(t+s)+2,

又ys+yt=y1+(s-1)(-2)+y1+(t-1)(-2)=2y1-2(s+t)+4,

由2y1-2(s+t)+4=2(t+s)+2,得y1=2(t+s)-1＞0,

即数列{yn}是首项为正,公差为负的等差数列,

∴一定存在一个最小自然数M,使

即解得t+s＜M≤t+s+.∵M∈N,∴M=t+s,

即存在自然数M,其最小值为t+s,使得当n＞M时,xn＞1恒成立.

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（1）求证：数列{xn}是等比数列；
（2）如果yn=18-3n，求实数k，b的值；
（3）如果存在t，s∈N*，s≠t，使得点（t，ys）和（s，yt）都在直线y=2x+1上，试判断，是否存在自然数M，当n＞M时，xn＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
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