Question

某农产品去年各季度的市场价格如下表：

季  度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
每吨售价（单位：元）	195.5	200.5	204.5	199.5

今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”（平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每个100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，
（1）根据题中条件填空，m=

 

（元/吨）；
（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由题意得：要使（m-195.5）²+（m-200.5）²+（m-204.5）²+（m-199.5）²最小，展开后配方可得，m取四个季度的市场价格的平均数即可；
（2）先写出降低税率后的税率及农产品的收购量、收购总金额，从而进一步写出故税收y（万元）与x的函数关系式即得；
（3）依题意得出关于x的一元二次不等式，再解此二次不等式即可得x的取值范围．从而问题解决．

解答：解：（1）由题意得：要使（m-195.5）²+（m-200.5）²+（m-204.5）²+（m-199.5）²最小，
m取四个季度的市场价格的平均数即可，
∴m=200；（3分）
（2）降低税率后的税率为（10-x）%，
农产品的收购量为a（1+2x%）万吨，
收购总金额为200a（1+2x%）
故y=200a（1+2x%）（10-x）%=

200

10000

a（100+2x）（10-x）
=

1

50

a（100+2x）（10-x）（0＜x＜10）；（8分）
（3）原计划税收为200a×10%=20a（万元），
依题意得：

1

50

a（100+2x）（10-x）≥20a×83.2%，即x²+40x-84≤0．
解得-42≤x≤2，又0＜x＜10，
∴0＜x≤2（13分）
答：x的取值范围是{x|0＜x≤2}．（14分）

点评：构造二次函数模型，函数解析式求解是关键，然后利用配方法、数形结合法等方法求解二次函数最值，但要注意自变量的实际取值范围．