Question

三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路．
甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”．
乙说：“寻找x与y的关系，再作分析”．
丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是

[-1，+∞）

．

Answer 1

分析：利用丙的方法，将字母a分离出来，只需研究二次函数在闭区间上的最大值即可．将

y

x

看成整体，转化成关于

y

x

的二次函数，求出

y

x

的范围，即可求出二次函数在闭区间上的最大值．

解答：解：选用丙的方法，∵xy≤ax²+2y²
∴ax²≥xy-2y²，∴a≥

y

x

-2•

y2

x2

=-2(

y

x

-

1

4

)2+

1

8

，
又

y

x

-2•

y2

x2

=-2(

y

x

-

1

4

)2+

1

8

，
而

y

x

∈[1，3]，
∴[-2(

y

x

-

1

4

)2+

1

8

]max=-1，
故答案为[-1，+∞）．

点评：本题以不同的思路为载体，考查学生解决问题的能力，考查了函数恒成立的问题，以及参数分离法的运用和转化的数学思想，属于中档题．