题目内容
设虚数z满足|2z+15|=
|
+10|．
（1）计算|z|的值；
（2）是否存在实数a，使
+
∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
| 3 |
. |
| z |
（1）计算|z|的值；
（2）是否存在实数a，使
| z |
| a |
| a |
| z |
分析：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则
=a-bi代入条件|2z+15|=
|
+10|然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得
=5
即求出了|z|的值
（2）对于此种题型可假设存在实数a使
+
∈R根据复数的运算法则设（z=c+bi（c，b∈R且b≠0））可得
+
=
+
+（
-
）∈R即
-
=0再结合b≠0和（1）的结论即可求解．
. |
| z |
| 3 |
. |
| z |
| a2+b2 |
| 3 |
（2）对于此种题型可假设存在实数a使
| z |
| a |
| a |
| z |
| z |
| a |
| a |
| z |
| c |
| a |
| ac |
| c2+ b2 |
| b |
| a |
| ab |
| c2+b2 |
| b |
| a |
| ab |
| c2+b2 |
解答：解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则
=a-bi
∵|2z+15|=
|
+10|
∴|（2a+15）+2bi|=
|（a+10）-bi|
∴
=
∴a2+b2=75
∴
=5
∴|z|=5
（2）设z=c+bi（c，b∈R且b≠0）假设存在实数a使
+
∈R
则有
+
=
+
+（
-
）∈R
∴
-
=0
∵b≠0
∴a=
由（1）知
=5
∴a=±5
. |
| z |
∵|2z+15|=
| 3 |
. |
| z |
∴|（2a+15）+2bi|=
| 3 |
∴
| (2a+15)2+(2b)2 |
| 3 |
| (a+10)2+(-b)2 |
∴a2+b2=75
∴
| a2+b2 |
| 3 |
∴|z|=5
| 3 |
（2）设z=c+bi（c，b∈R且b≠0）假设存在实数a使
| z |
| a |
| a |
| z |
则有
| z |
| a |
| a |
| z |
| c |
| a |
| ac |
| c2+ b2 |
| b |
| a |
| ab |
| c2+b2 |
∴
| b |
| a |
| ab |
| c2+b2 |
∵b≠0
∴a=
| + |
. |
| c2+b2 |
由（1）知
| c2+b2 |
| 3 |
∴a=±5
| 3 |
点评：本题主要考查了求解复数的模．解题的关键是要熟记复数模的概念：z=a+bi（a，b∈R）则|z|=
!
| a2+b2 |
练习册系列答案
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+10|．
∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．