Question

数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使不等式a_n≥m成立中的所有n中的最小值
（Ⅰ）若正项数列{a_n}前n和为S_n，

Sn

是

1

4

与（a_n+1）²的等比中项，求a_n及b_n通项；
（Ⅱ）若数列{a_n}通项为a_n=pn+q（n∈N^*，p＞0），是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*），如果存在，求出p和q的取值范围，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题中已知条件结合数列的基本性质便可求出数列an的通项公式，然后利用题中关于bn的定义便可求出数列分别讨论n为奇数和偶数时bn的表达式便可求得bn的通项公式；
（Ⅱ）存在，根据题中条件先求出p、q与m的关系可知3p-1＞0（或3p-1＜0）不符合条件，然后3p-1=0便可求出p值，进而求得q的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由于

Sn

是

1

4

与（a_n+1）²的等比中项，∴Sn=

1

4

(an+1)2
当n=1时，S1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1，（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)-

1

4

(an-1+1)，由a_n＞0，化简有a_n-a_n-1=2
所以{a_n}是等差数列，a_n=2n-1，检验当n=1时也适合，即a_n=2n-1（5分）
对于正整数，由a_n≥m，得n≥

m+1

2

．
根据b_m的定义可知：当m=2k-1时，b_m=k（k∈N^*）；当m=2k时，b_m=k+1（k∈N^*）．
∴bn=

n+1 2 ，n是奇数 n 2 +1，n是偶数

（9分）
（Ⅱ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0，得：n≥

m-q

p

．
∵b_m=3m+2（m∈N^*），根据b_m的定义可知，对于任意的正整数m 都有3m+1＜

m-q

p

≤3m+2，即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q对任意的正整数m都成立．
当3p-1＞0（或3p-1＜0）时，得m＜-

p+q

3p-1

（或m≤-

2p+q

3p-1

），
这与上述结论矛盾！（13分）
当3p-1=0，即p=

1

3

时，得-

2

3

-q≤0＜-

1

3

-q，解得-

2

3

≤q＜-

1

3

．
∴存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）；
p和q的取值范围分别是p=

1

3

，-

2

3

≤q＜-

1

3

．（16分）

点评：本题主要考查了考查了数列的递推公式，学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，是各地高考的热点，属于中档题．