题目内容
已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆
交于
、
两点,试问,是否存在
轴上的点
,使得对任意的
,
为定值,若存在,求出
点的坐标,若不存在,说明理由.
(1);(2)存在点
使得
为定值.
解析试题分析:(1)椭圆的标准方程是,则本题中有
,已知三角形的面积为4,说明
,这样可以求得
;(2)存在性命题的解法都是假设存在,然后想办法求出
.下面就是想法列出关于
的方程,本题是直线与椭圆相交问题,一般方法是设交点为
,把直线方程
代入椭圆方程交化简为
,则有
,
,而
,就可用
表示,这个值为定值,即与
无关,分析此式可得出结论..
试题解析:(1)设椭圆的短半轴为,半焦距为
,
则,由
得
,
由解得
,则椭圆方程为
. (6分)
(2)由得
设由韦达定理得:
=
==
, (10分)
当,即
时,
为定值,所以,存在点
使得
为定值(14分).
考点:(1)椭圆的标准方程;(2)直线与椭圆相交问题.

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