题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +5＞5，
∴ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．…（2分）
所以 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．…（4分）
从而2x+1＜x-2，解之得x＜-3．…（7分）
所以不等式f（x）＞5的解集为（-∞，-3）．…（8分）
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +5
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +5
= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +5
= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -4• $\text{[math]}$ +5…（10分）
设t= $\text{[math]}$ ，则y= $\text{[math]}$ t²-4t+5（t＞0），…（11分）
即y= $\text{[math]}$ （t-4）²-3．…（12分）
当t∈（0，4]，即x∈[-2，+∞）时，y是t的减函数，t是x的减函数；…（13分）
当t∈[4，+∞），即x∈（-∞，-2]时，y是t的增函数，t是x的减函数；…（14分）
所以函数的单调递增区间是[-2，+∞），单调递减区间是（-∞，-2]．…（16分）
分析：（Ⅰ）依题意，f（x）＞5? $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，利用指数函数的性质解之即可；
（Ⅱ）令t= $\text{[math]}$ ，将f（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +5转化为y= $\text{[math]}$ t²-4t+5（t＞0），利用复合函数的单调性判断即可．
点评：本题考查指数函数的单调性，考查函数单调性的判断与证明，考查转化思想与分类讨论思想的运用，考查复合函数的单调性，属于难题．