题目内容
已知函数,
,和直线
:
.又
.
(1)求的值;
(2)是否存在的值,使直线
既是曲线
的切线,又是
的切线;如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.
(3)如果对于所有的
,都有
成立,求k的取值范围.
【答案】
解:(1),因为
所以
=-2. …………2分
(2)因为直线恒过点(0,9).先求直线
是
的切线.
设切点为, …………3分
∵.∴切线方程为
,
将点(0,9)代入得.
当时,切线方程为
=9, 当
时,切线方程为
=
.
由得
,即有
当时,
的切线
,
当时,
的切线方程为
…………6分
是公切线,又由
得
或
,
当时
的切线为
,当
时
的切线为
,
,不是公切线, 综上所述
时
是两曲线的公切线 ……7分
(3).(1)得
,当
,不等式恒成立,
.
当时,不等式为
,……8分
而
当时,不等式为
,
当
时,
恒成立,则
…………10分
(2)由得
当时,
恒成立,
,当
时有
设=
,
当时
为增函数,
也为增函数
要使
在
上恒成立,则
…12分
由上述过程只要考虑,则当
时
=
在
时
,在
时
在
时有极大值即
在
上的最大值,…………13分
又,即
而当
,
时
,
一定成立,综上所述
.
【解析】略

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