题目内容

某企业用49万元引进一条年产值25万元的生产线，为维持该生产线正常运转，第一年需各种费用6万元，从第二年开始包括维修费用在内，每年所需费用均比上一年增加2万元．
（1）该生产线第几年开始盈利（即总收入减去成本及所需费用之差为正值？）
（2）该生产线生产若干年后，处理方案有两种：①年平均盈利达到最大值时，以18万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以9万元的价格卖出，问那一种方案较为合理，请说明理由．

解：（1）设该生产线第n年开始盈利，盈利为y万元．
则y=25n-[6n+ $\text{[math]}$ ]-49=-n²+20n-49．
由y=-n²+20n-49＞0解得 10- $\text{[math]}$ ＜n＜10+ $\text{[math]}$ ，再由n∈N可得，最小正整数n=3，即该生产线第3年开始盈利．
（2）按照方案一，年平均盈利为 $\text{[math]}$ =-n+20- $\text{[math]}$ ≤20-2 $\text{[math]}$ =6，当且仅当n=7，即第7年卖出，年平均盈利最大，盈利总额为6×7+18=60万元．
按照方案二，盈利 y=-n²+20n-49=-（n-10）²+51，当且仅当n=10时，盈利总额y+9=60万元．
两种方案盈利总额相等，但方案二用的时间较长，故应选方案一．
分析：（1）设该生产线第n年开始盈利，盈利为万元，则y=25n-[6n+ $\text{[math]}$ ]-49=-n²+20n-49．由y＞0求出最小正整数n的值．
（2）按照方案一，年平均盈利为 $\text{[math]}$ ，利用基本不等式求出 $\text{[math]}$ 最大时n的值，并求出盈利总额．按照方案二，利用二次函数的性质求出盈利 y的最大值，进而求出盈利总额y+9的值，比较两种方案盈利总额，结合所用的时间，作出选择．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，根据实际问题确定函数的类型，属于中档题．