Question

如图，用一副直角三角板拼成一直二面角A-BD-C，若其中给定 AB=AD=2，∠BCD=90°，∠BDC=60°，
（Ⅰ）求三棱锥A-BCD的体积；
（Ⅱ）求点A到BC的距离．

Answer 1

分析：（I）由已知中，用一付直角三角板拼成一直二面角A-BD-C，若其中给定 AB=AD=2，∠BCD=90°，∠BDC=60°，我们利用面面垂直的性质，我们易求出三棱锥A-BCD的高AE的长，及底面△BCD的面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
（II）过E点做EF∥CD，利用线面垂直的性质及判定定理，我们易判断AF即为点A到BC的距离，在RT△AEF中，求出AE及EF值后，利用勾股定理，我们易求出AF的值．

解答：解：（Ⅰ）∵直二面角A-BD-C是由一付直角三角板拼成
又∵AB=AD=2，则△ABD是以A为直角的等腰直角三角形，BD=2

2

又∵∠BCD=90°，∠BDC=60°，
∴CD=

2

，BC=

6

，S△BCD=

1

2

•

2

•

6

=

3

取BD的中点E，连接AE，则AE⊥BD，AE=

2

，如图所示
则AE⊥平面BCD，
则V_A-BCD=

1

3

•AE•S△BCD=

1

3

•

2

•

3

=

6

3

（Ⅱ）过E点做EF∥CD，则EF=

2

2

，且EF⊥BC
又∵AE⊥BC，AE∩EF=E
则BC⊥平面AEF
∴AF⊥BC，则线段AF长即为A点到BC的距离
在直角三角形AEF中，AF=

AE2+EF2

=

2+ 1 2

=

5 2

=

10

2

点评：本题考查的知识点是空间点、线、面的距离计算，棱锥的体积，其判断AE⊥平面BCD（即AE是平面BCD上的高）及判断AF垂直BC（即AF长为点A到BC的距离）是解答本题的关键．