Question

10．已知二次不等式x²-12x+9＜0的解集为（α，β），则$\frac{{α}^{\frac{3}{2}}-{β}^{\frac{3}{2}}}{α-β}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据二次不等式的解集，得出α+β与αβ，利用因式分解化简、计算$\frac{{α}^{\frac{3}{2}}-{β}^{\frac{3}{2}}}{α-β}$的值．

解答 解：∵二次不等式x²-12x+9＜0的解集为（α，β），
∴α+β=12，αβ=9，且0＜α＜β；
∴$\frac{{α}^{\frac{3}{2}}-{β}^{\frac{3}{2}}}{α-β}$=$\frac{{（α}^{\frac{1}{2}}{-β}^{\frac{1}{2}}）（α{{+α}^{\frac{1}{2}}β}^{\frac{1}{2}}+β）}{{（α}^{\frac{1}{2}}{-β}^{\frac{1}{2}}）{（α}^{\frac{1}{2}}{+β}^{\frac{1}{2}}）}$
=$\frac{α+β+\sqrt{αβ}}{\sqrt{α+β+2\sqrt{αβ}}}$
=$\frac{12+\sqrt{9}}{\sqrt{12+2\sqrt{9}}}$
=$\frac{12+3}{\sqrt{12+6}}$
=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了因式分解的应用问题，考查了计算求值的应用问题，是基础题目．