Question

已知如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象．
（1）求函数解析式；
（2）当x∈R时，求该函数图象的对称轴方程和对称中心坐标；
（3）当x∈R时，写出f（x）的单调增区间；
（4）当x∈R时，求使f（x）≥1 成立的x 的取值集合；
（5）当x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由图可得A=2，由T=π可求得ω=2，由又

π 2 -φ

ω

=

π

6

可求得φ；
（2）由2x+

π

6

=kπ+

π

2

可求其对称轴方程，由2x+

π

6

=kπ可求其对称中心坐标；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可得f（x）的单调增区间；
（4）由2kπ+

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，可求使f（x）≥1 成立的x 的取值集合；
（5）x∈[

π

12

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，从而可求求f（x）的值域．

解答：解：（1）由图象可得：A=2，（1分）
T=2（

2π

3

-

π

6

）=π=

2π

ω

，
∴ω=2（3分）
又

π 2 -φ

ω

=

π

6

，
∴φ=

π

6

（5分）
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）（6分）
（2）由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z得其对称轴方程为：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z；对称中心坐标为：（

kπ

2

-

π

12

，）；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得：（8分）
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z（9分）
所以f（x）的增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）（10分）
（4）由f（x）≥1得2sin（2x+

π

6

）≥1，
∴sin（2x+

π

6

）≥

1

2

，
所以，2kπ+

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
解得：kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴f（x）≥1 成立的x 的取值集合为{x|kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z}（12分）
（5）∵x∈[

π

12

，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]．
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值2；
当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值-1，故f（x）的值域为[-1，2]．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性，对称性，定义域与最值，属于三角的综合应用，是难题．