题目内容

设f（x）=1g（
2
1-x
+a）是奇函数，且在x=0处有意义，则该函数是（　　）
A、（-∞，+∞）上的减函数
B、（-∞，+∞）上的增函数
C、（-1，1）上的减函数
D、（-1，1）上的增函数
分析：由f（0）=0，求得a的值，可得f（x）=lg（
1+x
1-x
），由此求得函数f（x）的定义域．再根据f（x）=
lg（-1-
2
x-1
），以及t=-1-
2
x-1
在（-1，1）上是增函数，可得结论．
解答：解：由于f（x）=1g（
2
1-x
+a）是奇函数，且在x=0处有意义，
故有f（0）=0，即 lg（2+a）=0，解得 a=-1．
故f（x）=1g（
2
1-x
-1）=lg（
1+x
1-x
）．
令
1+x
1-x
＞0，求得-1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（-1，1）．
再根据f（x）=lg（
1+x
1-x
）=lg（-1-
2
x-1
），函数t=-1-
2
x-1
在（-1，1）上是增函数，
可得函数f（x）在（-1，1）上是增函数，
故选 D．
点评：本题主要考查函数的奇偶性，复合函数的单调性，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=alnx，g(x)=
1
2
x2．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；
（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)-f′(x0)＞g′(x0)+
1
g′(x0)
成立，求a的取值范围．
已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在x∈[-
1
2
，1)上的最大值为
3
8
，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设F(x)=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
（2012•泰州二模）已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；
（2）设F（x）=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
若P是曲线y=F（x）上异于原点O的任意一点，在曲线y=F（x）上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．
（2012•安庆二模）已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若对任意x∈[1，e]，使得g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（III）设F（x）=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
，曲线y=F（x）上是否总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为钝角柄点的钝角三角形，且最长边的中点在y轴上？请说明理由．
已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；
（2）设F（x）=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
若P是曲线y=F（x）上异于原点O的任意一点，在曲线y=F（x）上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．

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