题目内容
10．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4，且AC1⊥B1C，则三棱柱的体积为（ ）| A． | 32$\sqrt{3}$ | B． | $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ | C． | 23$\sqrt{3}$ | D． | 4$\sqrt{3}$ |
分析 设底面边长为2a，建立空间直角坐标系，利用AC1⊥B1C，可得$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0，解得a即可得出．
解答 解：设底面边长为2a，建立空间直角坐标系，
则C（0，-a，4），B1（0，a，0），C1（0，-a，0），A（$\sqrt{3}$a，0，4）．
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，-2a，4），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$（-\sqrt{3}a，-a，-4）$．
∵AC1⊥B1C，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0+2a2-16=0，
解得a=2$\sqrt{2}$．
∴S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2a）^{2}$=$8\sqrt{3}$．
则三棱柱的体积V=AA1•S△ABC=$4×8\sqrt{3}$=32$\sqrt{3}$．
故选：A．
点评 本题考查了直三棱柱的性质及其体积计算公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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