题目内容
函数
在同一个周期内,当
时y取最大值1,当
时,y取最小值-1.
(1)求函数的解析式y=f(x).
(2)函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象?
(3)若函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a<1),求在[0,2π]内的所有实数根之和.
【答案】
分析:(1)通过同一个周期内,当
时y取最大值1,当
时,y取最小值-1.求出函数的周期,利用最值求出φ,即可求函数的解析式y=f(x).
(2)函数y=sinx的图象经过左右平移,然后是横坐标变伸缩变换,纵坐标不变,可得到y=f(x)的图象,确定函数解析式.(3)确定函数在[0,2π]内的周期的个数,利用f(x)=a(0<a<1)与函数的对称轴的关系,求出所有实数根之和.
解答:解:(1)∵
,
∴ω=3,
又因
,
∴
,又
,得
∴函数
;
(2)y=sinx的图象向右平移
个单位得
的图象,
再由
图象上所有点的横坐标变为原来的
.纵坐标不变,得到
的图象,
(3)∵
的周期为
,
∴
在[0,2π]内恰有3个周期,
∴
在[0,2π]内有6个实根且
同理,
,
故所有实数之和为
.
点评:本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,正弦函数的图象,考查数形结合的思想,考查计算能力,是中档题.
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