Question

直线l：2ax-by+2=0（b≠0）经过圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆心A．直线m：x+（a-1）y+（a²-1）=0．
（1）若直线l，m互相平行，求直线m的方程；
（2）若直线l绕点A逆时针旋转45°后与直线m互相平行，求直线m的方程．

Answer 1

分析：（1）求出圆的圆心坐标，代入l的方程，利用直线l，m互相平行，求出a的值，然后求直线m的方程．
（2）由题意可得，直线l到直线m的角为45°．再利用一条直线到另一条直线的夹角公式求得a的值，即可得到所求直线m的方程．

解答：解：（1）圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆心A（-1，2），
∵直线l：2ax-by+2=0（b≠0）经过圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆心A．
∴-2a-2b+2=0，即a+b=1，
∴直线l：2ax-by+2=0化为：2ax-（1-a）y+2=0，
∵直线l，m互相平行，∴

2a

1

=

a-1

a-1

≠

2

a2-1

，解得a=

1

2

．
直线m：x+（a-1）y+（a²-1）=0的方程为：x-

1

2

y-

3

4

=0，即：4x-2y-3=0．
（2）由（1）可知直线l为：2ax-（1-a）y+2=0，因为它绕点A（-1，2）逆时针旋转45°后，与直线m：x+（a-1）y+（a²-1）=0平行，
故直线l到直线m的角为45°．
再根据直线l的斜率为

2a

1-a

，直线m的斜率为

1

1-a

，∴tan45°=

1 1-a - 2a 1-a

1+  1 1-a •  2a 1-a

=1，解得a=3，或a=0．
故直线m的方程为：x+2y+8=0，或 x-y-1=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，两条直线平行的性质，一条直线到另一条直线的夹角公式，属于中档题．