Question

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M的价值a_n的表达式；
（Ⅱ）设An=

a1+a2+…+an

n

，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．

Answer 1

分析：（I）通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值a_n的表达式；
（II）利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出A_n，判断出其两段的单调性，求出两段的最小值，与80比较，判断出须在第9年初对M更新．

解答：解：（I）当n＜6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列
a_n=120-10（n-1）=130-10n
当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为

3

4

的等比数列，又a₆=70
所以an=70×(

3

4

)n-6
因此，第n年初，M的价值a_n的表达式为an=

130-10n(n≤6) 70× ( 3 4 )n-6(n≥7)

（II）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，S_n=120n-5n（n-1），A_n=120-5（n-1）=125-5n
当n≥7时，由于S₆=570故
S_n=S₆+（a₇+a₈+…+a_n）=570+

70× 3 4 ×[1-( 3 4 )n-6]

1- 3 4

=780-210×(

3

4

)n-6An=

780-210×( 3 4 )n-6

n

因为{a_n}是递减数列，
所以{A_n}是递减数列，
又A8=

780-210×( 3 4 )2

8

=82

47

64

＞80
A9=

780-210×( 3 4 )3

9

=76

79

96

＜80
所以须在第9年初对M更新．

点评：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数的问题要分到研究．